Kritik devirde milin sehimi neden büyür?

Şekil 2.9 ve 2.10: Tek kütleli mil ve kritik devir sayısının etkisi
Ramazan Bayrakrbayrak@yildiz.edu.tr

Mil üzerindeki kütlenin ağırlık merkezi mil ekseninden biraz kaçıktır. Mil döndükçe bu kaçıklık bir merkezkaç kuvveti doğurur ve mili eğer. Devir sayısını kritik devre yaklaştırın ve sehimin nasıl büyüdüğünü izleyin. Ders notu, çalışma devrinin 0,8·nkr ile 1,2·nkr arasında kalmamasını ister.

Dönen mil (Şekil 2.9)

Mile yandan ve biraz yukarıdan bakıyoruz. Disk üzerindeki kırmızı ağırlık dengesizliği gösterir.

"Yavaşça hızlan": n, 0'dan 6000 d/d'ya çıkar.
  • Mile yandan ve biraz yukarıdan bakıyoruz.
  • Eşdeğer dengesiz kütle mu (u: İng. unbalance, dengesizlik), mil ekseninden ru = 80 mm uzakta (varsayım). Toplam kütlenin (m) ağırlık merkezini mil ekseninden e kadar kaydırır: m·e = mu·ru.
  • Yatak (kesit). Mil ucu bir küreye takılıdır; küre yatak gövdesindeki yuvasında döner. Böylece mil yatakta eğilebilir: k = 48EI/ℓ³ bağıntısının basit mesnet kabulü. ℓ, iki kürenin merkezleri arasıdır.
  • Yatak ekseni. Mil hiç eğilmeseydi bu çizgi üzerinde dönerdi.
  • Milin disk hizasındaki merkezinin çizdiği yol. Yarıçapı sehim δ'dır.
  • Sehim δ: milin yatak ekseninden kaçıklığı. Çizimde "Sehimi büyütme" ayarındaki kat kadar büyütüldü. Şekle sığmayacak kadar büyürse çizimde sınırda tutulur ve sol üstte "δ çizim sınırında" yazar.

Rezonans eğrisi (Şekil 2.10)

Sehimin eksantrikliğe oranı δ/e, devir sayısına göre. Düz eğri seçilen sönümle, kesikli eğri sönümsüz durumdur. Siyah nokta milin şu anki çalışma noktası, kırmızı bant kaçınılacak aralıktır.

Kritik devir sayısı nasıl artırılır?

nkr = (30/π)·√(3πE·d⁴ / (4·m·ℓ³)) bağıntısına göre nkr; d², 1/ℓ1,5 ve 1/√m ile orantılıdır. Bu yüzden üç büyüklüğün etkisi çok farklıdır.

1. Aynı %10'luk değişiklik nkr'yi ne kadar artırır?

Bu oranlar milin boyutlarına bağlı değildir; her mil için aynıdır.

2. Şu anki mili rezonanstan çıkarmak

Animasyon nasıl okunur?

Mil düşey durur ve iki yatak arasında döner (Şekil 2.9). Kırmızı ağırlık dengesizliği temsil eder: toplam kütlenin ağırlık merkezi mil ekseninden e kadar kaçıktır. Kesikli mavi elips, milin disk hizasındaki merkezinin çizdiği yoldur ve yarıçapı sehim δ'dır.

Devri nkr'ye yaklaştırın, elips hızla büyür. nkr geçilince kırmızı ağırlık yolun iç tarafına geçer ve sehim küçülür. Notun Şekil 2.10'unda δ/e'nin işaret değiştirmesi bunu anlatır.

Gerçek parçada dengesizlik nereden gelir?

Kasnakta ya da dişli çarkta böyle bir ağırlık yoktur, ama ağırlık merkezi yine de mil ekseniyle tam çakışmaz. Başlıca nedenler: delik ile dış çapın eş eksenli olmaması, döküm kusurları, kama ve kama yuvası, geçme boşluğu ve milin baştan hafif eğri olması.

Bu kusurların toplam etkisi tek bir eşdeğer kütleyle gösterilebilir. Sayfada bu kütle ru = 80 mm'ye konmuştur. ru farklı seçilse mu değişir, ama m·e = mu·ru çarpımı, dolayısıyla sehim değişmez. Dengeleme (balans) de bu mantıkla yapılır: bir düzeltme kütlesi eklenir ya da delik açılarak kütle eksiltilir (ISO 21940-11).

Sehim neden büyür?

Merkezkaç kuvveti m·ω²·(δ + e) mili eğer, milin yay kuvveti k·δ düzeltmeye çalışır. Eşitlikten δ = m·e·ω² / (k − m·ω²) bulunur. Payda sıfır olduğunda (ω = ωkr) sehim kuramsal olarak sonsuza gider; gerçekte sönüm onu sınırlar.

Güvenli çalışma aralığı

Notun önerisi: nmil ≤ 0,8·nkr ya da nmil ≥ 1,2·nkr. Devir bu aralığın içindeyse nkr tercihen artırılır: d büyütülür ya da ℓ kısaltılır. m'yi azaltmanın etkisi küçüktür. nkr'nin üstünde çalışan bir mil, her kalkış ve duruşta nkr'den geçer.

Kısa yol: nkr ≈ 900·√(1/δmax), δmax mm cinsinden hesaplanan en büyük sehimdir. Örnek: δmax = 0,1 mm ise nkr ≈ 2846 d/d.

Kullanılan bağıntılar

k = 48 E I / ℓ³,  I = π d⁴ / 64

nkr = (30/π) √(k/m) = (30/π) √(3πE d⁴ / (4 m ℓ³))

nkr ∝ d² / (√m · ℓ1,5)

δ/e = r² / (1 − r²),  r = n/nkr

δ/e = r² / √((1 − r²)² + (2ζr)²)

Fyay = k δ,  σ = 32 (Fyay ℓ / 4) / (π d³)

U = m e = mu ru  (U, u: İng. unbalance)

Kabuller. Mil düşey ve iki ucundan basit mesnetlidir. Kütle ortadadır, milin kendi kütlesi ihmal edildi. E = 210 GPa. Genlikler kararlı durum değeridir. Sehim çizimde büyütüldü, dönme yaklaşık 40 kat yavaşlatıldı. Kırmızı ağırlık ru = 80 mm'de varsayıldı. mu = m·e / ru (m, ağırlık dahil toplam kütle); çizimde boyutu mu ile büyür. Rezonanstan çıkış seçenekleri nkr ≥ 1,25·n koşulundan hesaplanır.

Kaynaklar. F. Dikmen, Makine Elemanları 1 Ders Notları, YTÜ, Bölüm 2.3.3-A (s. 37–39); Tablo-Diy. s. 1 ve 7. Sönümlü genlik: S. S. Rao, Mechanical Vibrations, Bölüm 3. Kritik hız: Budynas & Nisbett, Shigley's Mechanical Engineering Design, Bölüm 7. Dengeleme: ISO 21940-11:2016.